Тема 1.  Арифметика десятичных дробей

Сложение и вычитание десятичных дробей

Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:

1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;

3) выполнить сложение (вычитание), не обращая, внимание на запятую;

4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

Умножение десятичных дробей на натуральное число

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) умножить её на это число, не обращая внимания на запятую;

2) в полученном произведение отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено в десятичной дроби.

Умножение на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 10,100,1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоят в множителе после единицы.

Например:     27,32·10 = 273,2

27,32·100 = 2732

27,32·1000 = 27320

Умножение на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1) выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;

2) в полученном произведение отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях.

Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут нуль или несколько нулей.

Деление десятичных дробей на натуральное число

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) разделить дробь на это число, не обращая внимание на запятые;

2) поставить в частном запятую, когда кончается деление целой части.

Если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых.

Деление на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы разделить десятичную дробь на :10, 100, 1000 и т.д.,  надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр  влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

Например:     96,1:10 = 9,61

При этом иногда приходится написать перед целой частью нуль или несколько нулей.

Например:     96,1:10000 = 0,00961.

Деление на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

Чтобы разделить десятичную дробь на 0.1;0.01;0.001 и т.д. ,надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько знаков стоит в делители.

Деление десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо:

1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их отделено запятой в делителе;

2) после этого выполнить деление на натуральное число.

Тема 2. Признаки делимости.

Что называется делителем числа а?

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Например:     делитель числа 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Что называется кратным числа а?

Кратным натуральному числу а  называют натуральное число, которое делится без остатка на а.

Например:     Кратные числа 5: 5, 10, 15………100…..125

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10.

На 2 делятся числа, оканчивающиеся цифрами 0, 2, 4, 6, 8.

На 3 делятся числа, сумма цифр которых делится на 3.

На 4 делятся числа, две последние которого, образуют число, которое делится на 4.

На 5 делятся числа, оканчивающиеся цифрами 0 и 5.

На 6 делятся числа, которые одновременно делятся на 2 и на 3.

На 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9.

На 10 делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0.

Простые и составные числа.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу само это число.

Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Разложение числа на простые множители.

Всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

Наибольший общий делитель.

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и в, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать одинаковые множители;

3) найти произведение этих множителей.

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.

Взаимно простые числа

Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Наименьшее общее кратное

Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и в называют наименьшие натурально число, которое кратно и а, и в.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение получившихся множителей.

Тема 3. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Приведение дробей к общему знаменателю.

При приведении дроби к новому знаменателю её числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;

2) разделить наименьший общий знаменатель  на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;

3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;

2) сравнить (сложить, вычесть)полученные дроби.

Сложение и вычитание смешанных чисел.

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю

2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно – дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части.

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:

1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю, если дробная часть  уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть;

2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Тема 4. Умножение и деление обыкновенных дробей

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Чтобы умножить дробь на дробь ,надо :

1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей;

2) первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем.

Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначают чертой, называют дробным выражением.

Нахождение дроби от числа.

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Нахождение числа по его дроби.

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо его значение разделить на дробь

Тема 5. Отношение и пропорции.

Понятие отношения.

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

Понятие пропорции. Свойства пропорции

Верное равенство двух отношений называют пропорцией.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведение средних членов.

Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.

Прямая и обратная пропорциональные зависимость.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличение (уменьшение)одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается)во столько же раз.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличение (уменьшение) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.